ΑΚΡΑΙΑ ΚΑΙΡΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΕΙΡΑ

Θεωρείτε ότι τα ακραία καιρικά φαινόμενα είναι εντελώς τυχαία? Θα δείξουμε ότι έχουμε ένα μαθηματικό τύπο που με την βοήθεια του κάτι μπορούμε να καταφέρουμε. Θα σας δώσω μια μικρή γεύση.
Δείτε τη σειρά 1+1/2+1/3+1/4+1/5+.......φαίνεται απλή και είναι. Αυτή η απλή σειρά μας υπολογίζει με την πάροδο των ετών τον αριθμό των ετών κατά τα οποία παρουσιάζονται ακραία καιρικά φαινόμενα! Λειτουγεί το ίδιο καλά και σε επίπεδο ημερών. Υπολογίζει ακόμα και τις μέρες που έχετε ακραίες θερμοκρασίες στην γειτονιά σας. Θα τον μελετήσουμε με μεγαλύτερη λεπτομέρεια.
Ο πρώτος που μελέτησε τη σειρά αυτή (που ονομάζεται αρμονική) και απέδειξε ότι αποκλίνει(δηλαδή το άθροισμα των άπειρων όρων τείνει στο άπειρο) είναι ο Nicole Oresme (1323-1382), γάλλος μαθηματικός. Το γεγονός ότι ένα άθροισμα με όρους που τείνουν στο 0 (δηλαδή μικραίνουν συνέχεια) αποκλίνει δημιουργεί αίσθηση ακόμη και σήμερα. Μην ανησυχείτε πάντως, υπάρχουν τουλάχιστον 23 αποδείξεις!
Με την αρμονική σειρά ασχολήθηκε ο μεγάλος μαθηματικός του 18 αιώνα Euler. Επειδή είναι ένα άθροισμα που δύσκολα υπολογίζεται, αν για παράδειγμα θέλουμε να προσθέσουμε 100, 1000 ή και περισσότερους όρους, υπολόγισε ένα προσεγγιστικό τύπο κάνοντας έτσι τη ζωή μας πιο εύκολη.
Ο τύπος είναι για τους ν πρώτους όρους της σειράς: γ+ln(ν), όπου γ=0,5772156........ Η σταθερά γ ονομάζεται και αυτή σταθερά του Euler. Η άλλη γνωστή σταθερά με το ίδιο όνομα είναι η e=2,71..., που αποτελεί τη βάση των φυσικών λογαρίθμων.
Η αρμονική σειρά μπορεί να τείνει προς το άπειρο αλλά το κάνει με πάρα πολύ αργό ρυθμό. Φανταστείτε ότι για να έχουμε άθροισμα της τάξης του 10 πρέπει να προσθέσουμε 12367 όρους! Για άθροισμα 15 χρειάζονται 1,6 εκατομμύρια όροι, ενώ αν προσθέσετε 10 δισεκατομμύρια όρους θα λάβετε μόλις 23,6! Αν μιλάμε δε για το 100 μπορείτε να προσθέσετε (αν θέλετε) 1,5*10^43 όρους!
Ας έλθουμε τώρα στη σχέση που έχει η αρμονική σειρά με τα έτη ή τις μέρες όπου παρουσιάζονται ακραία καιρικά φαινόμενα.
Έστω ότι ξεκινάμε με κέφι τις μετρήσεις μας (πχ της μέσης μέγιστης θερμοκρασίας του Ιουλίου στην γειτονιά μας με το δικό μας θερμόμετρο) από το έτος α. Τότε το έτος α είναι ακραίο για τον απλό λόγο ότι δεν έχουμε άλλο για να συγκρίνουμε. Η σειρά σημειώνει 1.
Μετά από ένα χρόνο έρχεται το έτος β. Τότε έχουμε τους εξής συνδυασμούς: αβ και βα. Δύο περιπτώσεις. Αν το έτος α έχει μεγαλύτερη θερμορασία από το β τότε έχω τον συνδυασμό αβ, αν όμως το έτος β έχει μεγαλύτερη θερμοκρασία από το α τότε έχω βα, δηλαδή μια περίπτωση στις 2. Η σειρά σημειώνει 1/2.
Ας πάμε και στο έτος γ. Τότε θα έχουμε τους συνδυασμούς αβγ,αγβ,βαγ,βγα,γαβ,γβα, έξι δηλαδή περιπτώσεις από τις οποίες μόνο οι τελευταίες δύο αναφέρονται στο ότι το έτος γ θα μπορούσε να έχει μεγαλύτερη θερμοκρασία από τα άλλα δύο έτη α,β. Δηλαδή δύο στις 6 περιπτώσεις. Η σειρά σημειώνει 2/6=1/3.
Μπορούμε να συνεχίσουμε την ίδια διαδικασία αλλά δεν θέλω να σας κουράσω με άλλους υπολογισμούς, που έτσι ή αλλιώς γίνονται με όμοιο τρόπο.
Θα σας δώσω μόνο τον τύπο υπολογισμού των μεταθέσεων ν πραγμάτων. Ο τύπος ονομάζεται ν! ,ν παραγοντικό και υπολογίζεται ως εξής:1!=1 , 2!=1*2=2 , 3!=1*2*3=6 και γενικά ν!=1*2*3*4*...*ν.
Η αργή εξέλιξη του τύπου εξηγεί εκφράσεις που ακούμε στην τηλεόραση όπως πχ. είχε να βρέξει τόσο πολύ 25 χρόνια. Επίσης πρέπει να είμαστε προσεκτικοί και καχύποπτοι στην καραμέλα των ακραίων καιρικών φαινομένων που κάθε λίγο εμφανίζουν οι τηλεοπτικοί σταθμοι, οι οποίοι έχουν αναγάγει κάθε καιρικό φαινόμενο σε ακραίο. Για να είναι κάτι ακραίο πρέπει να συγκριθεί με κάτι άλλο που συνέβη στο παρελθόν ή υπάρχει στη φυση. Αν γνωρίζατε μόνο τον εαυτό σας δεν θα είχατε αίσθηση αν είστε ψηλός, κοντός, όμορφος η κυκλοθυμικός. Θα έπρεπε να έχετε συναντήσει τουλάχιστον έναν άνθρωπο ακόμη, έτσι ώστε να έχετε ένα μέτρο σύγκρισης.
Όσο για το θέμα της κλιματικής αλλαγής, έτσι ώστε να παρατηρούνται μεγαλύτερες εντάσεις των φαινομένων ή μεγαλύτερες χρονικές διάρκειες(πχ,περισσότερες μέρες καύσωνα), υπάρχουν ενδείξεις ότι συμβαίνει. Τότε η καλή αρμονική σειρά μας δίνει λίγο διαφορετικά αποτελέσματα, διότι λόγω της γενικότερης τάσης του κλιματικού συστήματος, τα επόμενα έτη έχουν μεγαλύτερη πιθανότητα να παρουσιάσουν ακραία φαινόμενα σε σχέση με τα προηγούμενα. Άρα στην περίπτωση πχ των τριών ετών α,β,γ το κλάσμα 2/6 ίσως θα έπρεπε να είναι 2,1/6. Παρόλα αυτά η σειρά λειτουργεί μια χαρά. Ως γνωστόν τα μαθηματικά μας φέρνουν σε επαφή με την πραγματικότητα.Προσοχή λοιπόν στις υπερβολές!

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΟ 7

Είναι σχετικά σπάνιο το συγκεκριμένο κριτήριο και σίγουρα δεν διδάσκεται στο σχολείο.Τα πράγματα είναι απλά, αν θέλουμε να καταλάβουμε ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 7 κάνουμε τον εξής υπολογισμό:Διπλασιάζουμε τις εκατοντάδες του αριθμού και στον αριθμό που θα βρούμε προσθέτουμε το υπόλοιπο μέρος, δηλαδή τις δεκάδες με τις μονάδες.Ας δούμε ένα παράδειγμα.
Έστω ο αριθμός 5306.Σύμφωνα με τα προηγούμενα έχουμε 53*2=106, 106+06=112. Εδώ μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι 112:7=16.Άρα ο αριθμός 5306 θα πρέπει να διαιρείται με το 7. Πράγματι 5306:7=758.
Αν θέλουμε μπορούμε να επαναλάβουμε την διαδικασία δηλαδή:από τον αριθμό 112 έχουμε
1*2=2, 2+12=14, το οποίο διαιρείται με το 7.Άρα ο 112 διαιρείται με το 7, άρα και ο 5306.
Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Έστω ο αριθμός 4782. Τότε έχουμε 47*2=94, 94+82=176 και συνεχίζουμε, 1*2=2, 2+76=78. Είναι προφανές ότι ο 78 δεν διαιρείται με 7, άρα και ο αρχικός 4782 δεν διαιρείται με 7. Πράγματι 4782:7=683,1428....
Θα μπορούσατε να αποδείξετε το γιατί συμβαίνει αυτό? Για την ιστορία του πράγματος θα σας πω ότι το συγκεκριμένο κριτήριο διαιρετότητας είναι γνωστό από την Παλαιά Διαθήκη, γιατι οι Εβραίοι της εποχής ήθελαν να γνωρίζουν τα Σαββατικά έτη (είναι αυτά που διαιρούνται με το 7) σύμφωνα με την εβραική αρίθμηση των ετών, διότι σύμφωνα με τη θρησκεία τους κατά τα έτη αυτά υπήρχαν σοβαρότατοι περιορισμοί στην εκτέλεση διάφορων εργασιών. Είναι προφανές ότι δεν είχαν εύκολους τους υπολογισμούς όπως σήμερα. Έτσι χρησιμοποιούσαν το συγκεκριμένο κριτήριο.
Η απόδειξη είναι εύκολη!