Θεωρείτε ότι τα ακραία καιρικά φαινόμενα είναι εντελώς τυχαία? Θα δείξουμε ότι έχουμε ένα μαθηματικό τύπο που με την βοήθεια του κάτι μπορούμε να καταφέρουμε. Θα σας δώσω μια μικρή γεύση.
Δείτε τη σειρά 1+1/2+1/3+1/4+1/5+.......φαίνεται απλή και είναι. Αυτή η απλή σειρά μας υπολογίζει με την πάροδο των ετών τον αριθμό των ετών κατά τα οποία παρουσιάζονται ακραία καιρικά φαινόμενα! Λειτουγεί το ίδιο καλά και σε επίπεδο ημερών. Υπολογίζει ακόμα και τις μέρες που έχετε ακραίες θερμοκρασίες στην γειτονιά σας. Θα τον μελετήσουμε με μεγαλύτερη λεπτομέρεια.
Ο πρώτος που μελέτησε τη σειρά αυτή (που ονομάζεται αρμονική) και απέδειξε ότι αποκλίνει(δηλαδή το άθροισμα των άπειρων όρων τείνει στο άπειρο) είναι ο Nicole Oresme (1323-1382), γάλλος μαθηματικός. Το γεγονός ότι ένα άθροισμα με όρους που τείνουν στο 0 (δηλαδή μικραίνουν συνέχεια) αποκλίνει δημιουργεί αίσθηση ακόμη και σήμερα. Μην ανησυχείτε πάντως, υπάρχουν τουλάχιστον 23 αποδείξεις!
Με την αρμονική σειρά ασχολήθηκε ο μεγάλος μαθηματικός του 18 αιώνα Euler. Επειδή είναι ένα άθροισμα που δύσκολα υπολογίζεται, αν για παράδειγμα θέλουμε να προσθέσουμε 100, 1000 ή και περισσότερους όρους, υπολόγισε ένα προσεγγιστικό τύπο κάνοντας έτσι τη ζωή μας πιο εύκολη.
Ο τύπος είναι για τους ν πρώτους όρους της σειράς: γ+ln(ν), όπου γ=0,5772156........ Η σταθερά γ ονομάζεται και αυτή σταθερά του Euler. Η άλλη γνωστή σταθερά με το ίδιο όνομα είναι η e=2,71..., που αποτελεί τη βάση των φυσικών λογαρίθμων.
Η αρμονική σειρά μπορεί να τείνει προς το άπειρο αλλά το κάνει με πάρα πολύ αργό ρυθμό. Φανταστείτε ότι για να έχουμε άθροισμα της τάξης του 10 πρέπει να προσθέσουμε 12367 όρους! Για άθροισμα 15 χρειάζονται 1,6 εκατομμύρια όροι, ενώ αν προσθέσετε 10 δισεκατομμύρια όρους θα λάβετε μόλις 23,6! Αν μιλάμε δε για το 100 μπορείτε να προσθέσετε (αν θέλετε) 1,5*10^43 όρους!
Ας έλθουμε τώρα στη σχέση που έχει η αρμονική σειρά με τα έτη ή τις μέρες όπου παρουσιάζονται ακραία καιρικά φαινόμενα.
Έστω ότι ξεκινάμε με κέφι τις μετρήσεις μας (πχ της μέσης μέγιστης θερμοκρασίας του Ιουλίου στην γειτονιά μας με το δικό μας θερμόμετρο) από το έτος α. Τότε το έτος α είναι ακραίο για τον απλό λόγο ότι δεν έχουμε άλλο για να συγκρίνουμε. Η σειρά σημειώνει 1.
Μετά από ένα χρόνο έρχεται το έτος β. Τότε έχουμε τους εξής συνδυασμούς: αβ και βα. Δύο περιπτώσεις. Αν το έτος α έχει μεγαλύτερη θερμορασία από το β τότε έχω τον συνδυασμό αβ, αν όμως το έτος β έχει μεγαλύτερη θερμοκρασία από το α τότε έχω βα, δηλαδή μια περίπτωση στις 2. Η σειρά σημειώνει 1/2.
Ας πάμε και στο έτος γ. Τότε θα έχουμε τους συνδυασμούς αβγ,αγβ,βαγ,βγα,γαβ,γβα, έξι δηλαδή περιπτώσεις από τις οποίες μόνο οι τελευταίες δύο αναφέρονται στο ότι το έτος γ θα μπορούσε να έχει μεγαλύτερη θερμοκρασία από τα άλλα δύο έτη α,β. Δηλαδή δύο στις 6 περιπτώσεις. Η σειρά σημειώνει 2/6=1/3.
Μπορούμε να συνεχίσουμε την ίδια διαδικασία αλλά δεν θέλω να σας κουράσω με άλλους υπολογισμούς, που έτσι ή αλλιώς γίνονται με όμοιο τρόπο.
Θα σας δώσω μόνο τον τύπο υπολογισμού των μεταθέσεων ν πραγμάτων. Ο τύπος ονομάζεται ν! ,ν παραγοντικό και υπολογίζεται ως εξής:1!=1 , 2!=1*2=2 , 3!=1*2*3=6 και γενικά ν!=1*2*3*4*...*ν.
Η αργή εξέλιξη του τύπου εξηγεί εκφράσεις που ακούμε στην τηλεόραση όπως πχ. είχε να βρέξει τόσο πολύ 25 χρόνια. Επίσης πρέπει να είμαστε προσεκτικοί και καχύποπτοι στην καραμέλα των ακραίων καιρικών φαινομένων που κάθε λίγο εμφανίζουν οι τηλεοπτικοί σταθμοι, οι οποίοι έχουν αναγάγει κάθε καιρικό φαινόμενο σε ακραίο. Για να είναι κάτι ακραίο πρέπει να συγκριθεί με κάτι άλλο που συνέβη στο παρελθόν ή υπάρχει στη φυση. Αν γνωρίζατε μόνο τον εαυτό σας δεν θα είχατε αίσθηση αν είστε ψηλός, κοντός, όμορφος η κυκλοθυμικός. Θα έπρεπε να έχετε συναντήσει τουλάχιστον έναν άνθρωπο ακόμη, έτσι ώστε να έχετε ένα μέτρο σύγκρισης.
Όσο για το θέμα της κλιματικής αλλαγής, έτσι ώστε να παρατηρούνται μεγαλύτερες εντάσεις των φαινομένων ή μεγαλύτερες χρονικές διάρκειες(πχ,περισσότερες μέρες καύσωνα), υπάρχουν ενδείξεις ότι συμβαίνει. Τότε η καλή αρμονική σειρά μας δίνει λίγο διαφορετικά αποτελέσματα, διότι λόγω της γενικότερης τάσης του κλιματικού συστήματος, τα επόμενα έτη έχουν μεγαλύτερη πιθανότητα να παρουσιάσουν ακραία φαινόμενα σε σχέση με τα προηγούμενα. Άρα στην περίπτωση πχ των τριών ετών α,β,γ το κλάσμα 2/6 ίσως θα έπρεπε να είναι 2,1/6. Παρόλα αυτά η σειρά λειτουργεί μια χαρά. Ως γνωστόν τα μαθηματικά μας φέρνουν σε επαφή με την πραγματικότητα.Προσοχή λοιπόν στις υπερβολές!
Πέμπτη 17 Ιουλίου 2008
ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΟ 7
Είναι σχετικά σπάνιο το συγκεκριμένο κριτήριο και σίγουρα δεν διδάσκεται στο σχολείο.Τα πράγματα είναι απλά, αν θέλουμε να καταλάβουμε ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 7 κάνουμε τον εξής υπολογισμό:Διπλασιάζουμε τις εκατοντάδες του αριθμού και στον αριθμό που θα βρούμε προσθέτουμε το υπόλοιπο μέρος, δηλαδή τις δεκάδες με τις μονάδες.Ας δούμε ένα παράδειγμα.
Έστω ο αριθμός 5306.Σύμφωνα με τα προηγούμενα έχουμε 53*2=106, 106+06=112. Εδώ μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι 112:7=16.Άρα ο αριθμός 5306 θα πρέπει να διαιρείται με το 7. Πράγματι 5306:7=758.
Αν θέλουμε μπορούμε να επαναλάβουμε την διαδικασία δηλαδή:από τον αριθμό 112 έχουμε
1*2=2, 2+12=14, το οποίο διαιρείται με το 7.Άρα ο 112 διαιρείται με το 7, άρα και ο 5306.
Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Έστω ο αριθμός 4782. Τότε έχουμε 47*2=94, 94+82=176 και συνεχίζουμε, 1*2=2, 2+76=78. Είναι προφανές ότι ο 78 δεν διαιρείται με 7, άρα και ο αρχικός 4782 δεν διαιρείται με 7. Πράγματι 4782:7=683,1428....
Θα μπορούσατε να αποδείξετε το γιατί συμβαίνει αυτό? Για την ιστορία του πράγματος θα σας πω ότι το συγκεκριμένο κριτήριο διαιρετότητας είναι γνωστό από την Παλαιά Διαθήκη, γιατι οι Εβραίοι της εποχής ήθελαν να γνωρίζουν τα Σαββατικά έτη (είναι αυτά που διαιρούνται με το 7) σύμφωνα με την εβραική αρίθμηση των ετών, διότι σύμφωνα με τη θρησκεία τους κατά τα έτη αυτά υπήρχαν σοβαρότατοι περιορισμοί στην εκτέλεση διάφορων εργασιών. Είναι προφανές ότι δεν είχαν εύκολους τους υπολογισμούς όπως σήμερα. Έτσι χρησιμοποιούσαν το συγκεκριμένο κριτήριο.
Η απόδειξη είναι εύκολη!
Έστω ο αριθμός 5306.Σύμφωνα με τα προηγούμενα έχουμε 53*2=106, 106+06=112. Εδώ μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι 112:7=16.Άρα ο αριθμός 5306 θα πρέπει να διαιρείται με το 7. Πράγματι 5306:7=758.
Αν θέλουμε μπορούμε να επαναλάβουμε την διαδικασία δηλαδή:από τον αριθμό 112 έχουμε
1*2=2, 2+12=14, το οποίο διαιρείται με το 7.Άρα ο 112 διαιρείται με το 7, άρα και ο 5306.
Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Έστω ο αριθμός 4782. Τότε έχουμε 47*2=94, 94+82=176 και συνεχίζουμε, 1*2=2, 2+76=78. Είναι προφανές ότι ο 78 δεν διαιρείται με 7, άρα και ο αρχικός 4782 δεν διαιρείται με 7. Πράγματι 4782:7=683,1428....
Θα μπορούσατε να αποδείξετε το γιατί συμβαίνει αυτό? Για την ιστορία του πράγματος θα σας πω ότι το συγκεκριμένο κριτήριο διαιρετότητας είναι γνωστό από την Παλαιά Διαθήκη, γιατι οι Εβραίοι της εποχής ήθελαν να γνωρίζουν τα Σαββατικά έτη (είναι αυτά που διαιρούνται με το 7) σύμφωνα με την εβραική αρίθμηση των ετών, διότι σύμφωνα με τη θρησκεία τους κατά τα έτη αυτά υπήρχαν σοβαρότατοι περιορισμοί στην εκτέλεση διάφορων εργασιών. Είναι προφανές ότι δεν είχαν εύκολους τους υπολογισμούς όπως σήμερα. Έτσι χρησιμοποιούσαν το συγκεκριμένο κριτήριο.
Η απόδειξη είναι εύκολη!
Σάββατο 26 Απριλίου 2008
Τρίτη 19 Φεβρουαρίου 2008
ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΕΛΕΙΟΙ ΦΙΛΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΛΛΟΙ
Τέλειοι είναι οι αριθμοί που είναι ίσοι με το άθροισμα των διαιρετών τους εκτός του εαυτού τους. Πχ ο 6 έχει διαιρέτες τους 1,2,3,6. Άρα 1+2+3=6 (άθροισμα όλων των διαιρετών εκτος του 6), 'αρα ο 6 είναι τέλειος. Ομοίως ο 28 έχει διαιρέτες 1,2,4,7,14,28, άρα 1+2+4+7+14=28. Άρα ο 28 είναι τέλειος.
Φιλικοί τέλειοι είναι οι αριθμοί που το άθροισμα των διαιρετών του ενός εκτός του εαυτού του ισούται με τον άλλο.
Πχ οι αριθμοί 220 και 284. Ο 220 έχει άθροισμα διαιρετών εκτός του εαυτού του 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284. Επίσης ο 284 έχει 1+2+4+71+142=220.
Άρα οι 220,284 είναι φιλικοί τέλειοι. Σας δίνω μερικά ζευγάρια ακόμα από τα 390 γνωστά σήμερα. Είναι τα ζεύγη 1184-1210, 17296-18416, 9.363.584-9.437.056.
ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΓΙΑ ΤΕΛΕΙΟΥΣ
Αν ο κ=2^ν-1 είναι πρώτος τότε ο λ=2^(ν-1)*(2^ν-1) είναι τέλειος.
Διαβάστε και αυτά που δεν έχουν σχέση με τέλειους αλλά έχουν το ενδιαφέρον τους. Οι μόνοι τετραψήφιοι που χωράνε αντεστραμμένοι ακέραιες φορές στον εαυτό τους είναι οι:
8712/2178=4 και 9801/1089=9.
Κατά τα άλλα υπάρχουν μόνο 4 αριθμοί εκτός από το μηδέν και το ένα, που είναι ίσοι με το άθροισμα των ψηφίων τους υψωμένων στον κύβο. Δείτε:
153=1^3+5^3+3^3
370=3^3+7^3+0^3
371=3^3+7^3+1^3
407=4^3+0^3+7^3. Παρατηρείστε ότι υπάρχουν δύο συνεχόμενοι με αυτή την ιδιότητα οι 370,371.
Φιλικοί τέλειοι είναι οι αριθμοί που το άθροισμα των διαιρετών του ενός εκτός του εαυτού του ισούται με τον άλλο.
Πχ οι αριθμοί 220 και 284. Ο 220 έχει άθροισμα διαιρετών εκτός του εαυτού του 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284. Επίσης ο 284 έχει 1+2+4+71+142=220.
Άρα οι 220,284 είναι φιλικοί τέλειοι. Σας δίνω μερικά ζευγάρια ακόμα από τα 390 γνωστά σήμερα. Είναι τα ζεύγη 1184-1210, 17296-18416, 9.363.584-9.437.056.
ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΓΙΑ ΤΕΛΕΙΟΥΣ
Αν ο κ=2^ν-1 είναι πρώτος τότε ο λ=2^(ν-1)*(2^ν-1) είναι τέλειος.
Διαβάστε και αυτά που δεν έχουν σχέση με τέλειους αλλά έχουν το ενδιαφέρον τους. Οι μόνοι τετραψήφιοι που χωράνε αντεστραμμένοι ακέραιες φορές στον εαυτό τους είναι οι:
8712/2178=4 και 9801/1089=9.
Κατά τα άλλα υπάρχουν μόνο 4 αριθμοί εκτός από το μηδέν και το ένα, που είναι ίσοι με το άθροισμα των ψηφίων τους υψωμένων στον κύβο. Δείτε:
153=1^3+5^3+3^3
370=3^3+7^3+0^3
371=3^3+7^3+1^3
407=4^3+0^3+7^3. Παρατηρείστε ότι υπάρχουν δύο συνεχόμενοι με αυτή την ιδιότητα οι 370,371.
Τετάρτη 13 Φεβρουαρίου 2008
ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΜΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΑΚΕΡΑΙΩΝ
Σας αναφέρω εδώ διάφορες σχέσεις με τετράγωνα ακεραίων αριθμών. Δεν χρειάζονται πολλά σχόλια, μιλάνε μόνες τους.
111111111^2=12345678987654321 Οι μονάδες είναι 9!
123456789=11115^2-294^2=18917^2-15310^2=18133^2-14330^2 κοκ
Ο μικρότερος αριθμός που αν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει αποτέλεσμα με όλα τα ψηφία διαφορετικά είναι ο 32043. 32043^2=1026753849. Ενώ ο μεγαλύτερος είναι ο 99066.
99066^2=9814072356.
Προσέξτε και αυτόν τον αριθμό:4390182756(έχει όλα τα ψηφία του διαφορετικά). Προσθέστε
1.000.000. Θα έχετε τον 4391182756. Η τετραγωνική του ρίζα ειναι ο 66266! Ο αριθμος αυτός είναι ο μοναδικός δεκαψήφιος με αυτή την ιδιότητα.
Ο μοναδικός διψήφιος όπου αν από το τετράγωνο του αφαιρέσουμε το τετράγωνο του αντεστραμένου του βρίσκουμε τετράγωνο ακεραίου είναι ο 65.
65^2-56^2=33^2.
Είχαμε αναφέρει στο άρθρο ΟΙ ΜΕΡΕΣ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ τη σχέση
10^2+11^2+12^2=13^2+14^2. Δείτε μερικές ακομα:21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2
36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2
55^2+56^2+57^2+58^2+59^2+60^2=61^2+62^2+63^2+64^2+65^2
Μπορείτε και σεις να φτιάξετε τέτοιες σχέσεις. Διαπιστώνουμε πρώτα ότι ισχύουν οι σχέσεις
2^2+3^2+8^2=4^2+5^2+6^2 και 3^2+4^2=5^2+0^2 και 1^2+3^2+5^2+9^2=4^2+6^2+*62 και 1^2+4^2+6^2+7^2=2^2+3^2+5^2+8^2.
Αν τώρα σχηματίσετε οποιονδήποτε διψήφιο με το πρώτο ψηφίο από το πρώτο μέλος μιας από τις ποιο πάνω σχέσεις και το δεύτερο από το δεύτερο μέλος, τότε τα τετράγωνα των πρώτων θα είναι ίσα με τα τετράγωνα των αντεστραμένων τους.
Π.χ από την πρώτη σχέση σχηματίζω τους αριθμούς 26,34,85 τότε 26^2+34^2+85^2=62^2+43^2+58^2 !!!
Δοκιμάστε το!
111111111^2=12345678987654321 Οι μονάδες είναι 9!
123456789=11115^2-294^2=18917^2-15310^2=18133^2-14330^2 κοκ
Ο μικρότερος αριθμός που αν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει αποτέλεσμα με όλα τα ψηφία διαφορετικά είναι ο 32043. 32043^2=1026753849. Ενώ ο μεγαλύτερος είναι ο 99066.
99066^2=9814072356.
Προσέξτε και αυτόν τον αριθμό:4390182756(έχει όλα τα ψηφία του διαφορετικά). Προσθέστε
1.000.000. Θα έχετε τον 4391182756. Η τετραγωνική του ρίζα ειναι ο 66266! Ο αριθμος αυτός είναι ο μοναδικός δεκαψήφιος με αυτή την ιδιότητα.
Ο μοναδικός διψήφιος όπου αν από το τετράγωνο του αφαιρέσουμε το τετράγωνο του αντεστραμένου του βρίσκουμε τετράγωνο ακεραίου είναι ο 65.
65^2-56^2=33^2.
Είχαμε αναφέρει στο άρθρο ΟΙ ΜΕΡΕΣ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ τη σχέση
10^2+11^2+12^2=13^2+14^2. Δείτε μερικές ακομα:21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2
36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2
55^2+56^2+57^2+58^2+59^2+60^2=61^2+62^2+63^2+64^2+65^2
Μπορείτε και σεις να φτιάξετε τέτοιες σχέσεις. Διαπιστώνουμε πρώτα ότι ισχύουν οι σχέσεις
2^2+3^2+8^2=4^2+5^2+6^2 και 3^2+4^2=5^2+0^2 και 1^2+3^2+5^2+9^2=4^2+6^2+*62 και 1^2+4^2+6^2+7^2=2^2+3^2+5^2+8^2.
Αν τώρα σχηματίσετε οποιονδήποτε διψήφιο με το πρώτο ψηφίο από το πρώτο μέλος μιας από τις ποιο πάνω σχέσεις και το δεύτερο από το δεύτερο μέλος, τότε τα τετράγωνα των πρώτων θα είναι ίσα με τα τετράγωνα των αντεστραμένων τους.
Π.χ από την πρώτη σχέση σχηματίζω τους αριθμούς 26,34,85 τότε 26^2+34^2+85^2=62^2+43^2+58^2 !!!
Δοκιμάστε το!
Τρίτη 29 Ιανουαρίου 2008
ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΕΣ ΤΡΙΑΔΕΣ (πτ)
Σας δίνω κάποιες πρωταρχικές πτ: (Ο μεγαλύτερος αριθμός είναι πάντα η υποτείνουσα και οι δύο άλλοι οι κάθετες πλευρές)
(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29),(9,40,41),(12,35,37),(11,60,61),(28,45,53),(33,56,65),(13,84,85),(16,63,65),(48,55,73),(39,80,89),(15,112,113),(36,77,85),(65,72,97),
(17,144,145),(20,99,101),(60,91,109),(51,140,149),(18,19,180).
Σας δίνω επίσης και μια πρόταση του Πρόκλου για παραγωγη πτ. Υποτείνουσα=2*ν^2+2*ν+1
κάθετη πλευρά=2*ν^2+2*ν, άλλη κάθετη=2*ν+1. Η πρόταση αυτή παράγει πτ με το εξής χαρακτηριστικό:η υποτείνουσα είναι κατά μια μονάδα μεγαλύτερη από την μεγαλύτερη από τις δύο κάθετες.Δείτε μερικές πτ:(19,180,181),(21,220,221),(23,264,265),(25,312,313),(27,364,365).
Ας δούμε μερικές ιδιότητες των πτ:Ένα από τα μήκη των καθέτων πλευρών πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 3.
Ένα από τα μήκη των καθέτων πλευρών πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 4.
Ένας από τους αριθμούς της τριάδας πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 5.
Σε μια πρωταρχική λύση οι δύο κάθετες πλευρές δεν μπορεί να είναι συγχρόνως περιττοί.
Σε μια πρωταρχική λύση αν η μια κάθετη είναι άρτιος αριθμός τότε η άλλη κάθετη και η υποτείνουσα είναι περιττοί.Θα επανέλθω και με άλλες ιδιότητες.
(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29),(9,40,41),(12,35,37),(11,60,61),(28,45,53),(33,56,65),(13,84,85),(16,63,65),(48,55,73),(39,80,89),(15,112,113),(36,77,85),(65,72,97),
(17,144,145),(20,99,101),(60,91,109),(51,140,149),(18,19,180).
Σας δίνω επίσης και μια πρόταση του Πρόκλου για παραγωγη πτ. Υποτείνουσα=2*ν^2+2*ν+1
κάθετη πλευρά=2*ν^2+2*ν, άλλη κάθετη=2*ν+1. Η πρόταση αυτή παράγει πτ με το εξής χαρακτηριστικό:η υποτείνουσα είναι κατά μια μονάδα μεγαλύτερη από την μεγαλύτερη από τις δύο κάθετες.Δείτε μερικές πτ:(19,180,181),(21,220,221),(23,264,265),(25,312,313),(27,364,365).
Ας δούμε μερικές ιδιότητες των πτ:Ένα από τα μήκη των καθέτων πλευρών πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 3.
Ένα από τα μήκη των καθέτων πλευρών πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 4.
Ένας από τους αριθμούς της τριάδας πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 5.
Σε μια πρωταρχική λύση οι δύο κάθετες πλευρές δεν μπορεί να είναι συγχρόνως περιττοί.
Σε μια πρωταρχική λύση αν η μια κάθετη είναι άρτιος αριθμός τότε η άλλη κάθετη και η υποτείνουσα είναι περιττοί.Θα επανέλθω και με άλλες ιδιότητες.
Δευτέρα 21 Ιανουαρίου 2008
ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 1
Είναι γνωστό ότι σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο,που βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο, με πλευρές α=η υποτείνουσα (που είναι και η μεγαλύτερη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου) και β,γ=οι δύο κάθετες πλευρές, ισχύει:
α^2=β^2+γ^2.
Υπάρχουν ίσως περισσότερες από 370 αποδείξεις του ΠΘ, τουλάχιστον με την δική μου πληροφόρηση. Ίσως καταφέρουμε μελλοντικά να παρουσιάσουμε κάποιες.
Οι αριθμοί α,β,γ που ικανοποιούν το ΠΘ, ονομάζονται πυθαγόρειες τριάδες και υπάρχουν άπειρες από αυτές.
Η πιο γνωστή από αυτές είναι η 3,4,5.Όντως 5^2=25 και 3^2+4^2=9+16=25. Άρα 25=25, οπότε ισχύει το ΠΘ, άρα υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών 3,4,5 όπου 5, η μεγαλύτερη είναι η υποτείνουσα.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν έχω μια πυθαγόρεια τριάδα α,β,γ τότε όλες οι τριάδες της μορφής κα,κβ,κγ είναι πυθαγόρειες. Ένα παράδειγμα: οι αριθμοί 3,4,5 αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα(=πτ). Επίσης οι αριθμοί 2*3=6,2*4=8 και 2*5=10 αποτελούν και αυτοί πτ. Όντως 6^2+8^2=36+64=100 και 10^2=100.
Οι πτ που δεν είναι πολλαπλάσια άλλων πτ ονομάζονται πρωταρχικές.Σε ποιο μαθηματική γλώσσα, μια πτ είναι πρωταρχική αν (α,β,γ)=1, δηλαδή οι αριθμοί α,β,γ είναι σχετικώς πρώτοι μεταξύ τους(ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι το 1). Σε επόμενη δημοσίευση θα γράψω πρωταρχικές πτ.
ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΩΝ ΤΡΙΑΔΩΝ:Αν θέλετε να κατασκευάσετε μόνοι σας πτ υπάρχουν διάφοροι τύποι. Σας δίνω κάποιους:
(1-α^2)^2+(2*α)^2=(1+α^2)^2
[(μ^2-ν^2)/2]+(μ*ν)^2=[(μ^2+ν^2)/2]
α^2=β^2+γ^2.
Υπάρχουν ίσως περισσότερες από 370 αποδείξεις του ΠΘ, τουλάχιστον με την δική μου πληροφόρηση. Ίσως καταφέρουμε μελλοντικά να παρουσιάσουμε κάποιες.
Οι αριθμοί α,β,γ που ικανοποιούν το ΠΘ, ονομάζονται πυθαγόρειες τριάδες και υπάρχουν άπειρες από αυτές.
Η πιο γνωστή από αυτές είναι η 3,4,5.Όντως 5^2=25 και 3^2+4^2=9+16=25. Άρα 25=25, οπότε ισχύει το ΠΘ, άρα υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών 3,4,5 όπου 5, η μεγαλύτερη είναι η υποτείνουσα.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν έχω μια πυθαγόρεια τριάδα α,β,γ τότε όλες οι τριάδες της μορφής κα,κβ,κγ είναι πυθαγόρειες. Ένα παράδειγμα: οι αριθμοί 3,4,5 αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα(=πτ). Επίσης οι αριθμοί 2*3=6,2*4=8 και 2*5=10 αποτελούν και αυτοί πτ. Όντως 6^2+8^2=36+64=100 και 10^2=100.
Οι πτ που δεν είναι πολλαπλάσια άλλων πτ ονομάζονται πρωταρχικές.Σε ποιο μαθηματική γλώσσα, μια πτ είναι πρωταρχική αν (α,β,γ)=1, δηλαδή οι αριθμοί α,β,γ είναι σχετικώς πρώτοι μεταξύ τους(ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι το 1). Σε επόμενη δημοσίευση θα γράψω πρωταρχικές πτ.
ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΩΝ ΤΡΙΑΔΩΝ:Αν θέλετε να κατασκευάσετε μόνοι σας πτ υπάρχουν διάφοροι τύποι. Σας δίνω κάποιους:
(1-α^2)^2+(2*α)^2=(1+α^2)^2
[(μ^2-ν^2)/2]+(μ*ν)^2=[(μ^2+ν^2)/2]
Πέμπτη 3 Ιανουαρίου 2008
ΟΙ ΜΕΡΕΣ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
Μια και είναι αρχή της χρονιάς και έχουμε να δινύσουμε 365 μέρες προσέξτε αυτή την αξιοσημείωτη σχέση:
10^2+11^2+12^2=365 και 13^2+14^2=365!
Άρα πόσες μέρες είναι δύο χρονιές; 10^2+11^2+12^2+13^2+14^2=365*2!
Να πούμε και μερικά άλλα για τα τετράγωνα των ακεραίων αριθμών: Για κάθε τρεις διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς ισχύει: Το τετράγωνο του μεσαίου ισούται με το γινόμενο των δύο ακραίων συν ένα. Ας πάρουμε τους διαδοχικούς ακέραιους 3,4,5. 4^2=16 και 3*5+1=
15+1=16.
10^2+11^2+12^2=365 και 13^2+14^2=365!
Άρα πόσες μέρες είναι δύο χρονιές; 10^2+11^2+12^2+13^2+14^2=365*2!
Να πούμε και μερικά άλλα για τα τετράγωνα των ακεραίων αριθμών: Για κάθε τρεις διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς ισχύει: Το τετράγωνο του μεσαίου ισούται με το γινόμενο των δύο ακραίων συν ένα. Ας πάρουμε τους διαδοχικούς ακέραιους 3,4,5. 4^2=16 και 3*5+1=
15+1=16.
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ
Όλοι έχουμε μάθει στο σχολείο τρόπους για να βρίσκουμε τους διαιρέτες ενός ακέραιου αριθμού. Ας θυμηθούμε μερικούς.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 2 αν είναι άρτιος, δηλαδή λήγει σε 2,4,6,8,0
Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 ή με το 9 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με 3 ή 9.
Πχ ο αριθμός 123 διαιρείται με το 3 γιατί 1+2+3=6 και το 6 διαιρείται και αυτό με 3. Ομοίως το 12339 διαιρείται με το 9 γιατί 1+2+3+3+9=18 και το 18 διαιρείται με το 9.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 αν ο αριθμός που σχηματίζουν τα δύο τελευταία του διαιρείται με το 4. Πχ ο 1824 διαιρείται με το 4 γιατι ο 24 διαιρείται με το 4.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν λήγει σε 0 ή 5.
Ας δούμε όμως ένα ποιο είναι το κριτήριο διαιρετότητας με το 11. Ένας αριθμός διαιρείται με το 11 αν ξεκινώντας από το τελευταίο ψηφίο του αφαιρούμε και προσθέτουμε εναλλάξ τα ψηφία του και το αποτέλεσμα βγει 0 ή αριθμός που διαιρείται με το 11.
Πχ ο αριθμός 1232 διαιρείται με το 11 γιατι (από το τέλος) 2-3+2-1=0. Πράγματι 11*112=1232.
Αυτό το κριτήριο έχει και άλλη χρησιμότητα. Μπορεί να μας δώσει το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός αριθμού διά του 11.
Πχ 32569:11 δίνει πηλίκο 296 και υπόλοιπο 9. Προσέξτε τώρα:
Αρχίζουμε και προσθαφαιρούμε από το τέλος 9-6+5-2+3=17-8=9!
Ας τελειώσουμε με ακόμα ένα περίεργο κριτήριο, του 19.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 19 αν στο πλήθος των δεκάδων του προσθέσουμε το διπλάσιο του πλήθους των μονάδων του.
Δείτε ένα παράδειγμα: Ο αριθμός 1102 έχει 110 δεκάδες και 2 μονάδες. Άρα 110+2*2=114. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία: Ο 114 έχει 11 δεκάδες και 4 μονάδες. Άρα 11+2*4=19. Το 19 διαιρείται με το 19 άρα και ο αρχικός αριθμός 1102 διαιρείται με το 19. Πράγματι 1102=19*58.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 2 αν είναι άρτιος, δηλαδή λήγει σε 2,4,6,8,0
Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 ή με το 9 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με 3 ή 9.
Πχ ο αριθμός 123 διαιρείται με το 3 γιατί 1+2+3=6 και το 6 διαιρείται και αυτό με 3. Ομοίως το 12339 διαιρείται με το 9 γιατί 1+2+3+3+9=18 και το 18 διαιρείται με το 9.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 αν ο αριθμός που σχηματίζουν τα δύο τελευταία του διαιρείται με το 4. Πχ ο 1824 διαιρείται με το 4 γιατι ο 24 διαιρείται με το 4.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν λήγει σε 0 ή 5.
Ας δούμε όμως ένα ποιο είναι το κριτήριο διαιρετότητας με το 11. Ένας αριθμός διαιρείται με το 11 αν ξεκινώντας από το τελευταίο ψηφίο του αφαιρούμε και προσθέτουμε εναλλάξ τα ψηφία του και το αποτέλεσμα βγει 0 ή αριθμός που διαιρείται με το 11.
Πχ ο αριθμός 1232 διαιρείται με το 11 γιατι (από το τέλος) 2-3+2-1=0. Πράγματι 11*112=1232.
Αυτό το κριτήριο έχει και άλλη χρησιμότητα. Μπορεί να μας δώσει το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός αριθμού διά του 11.
Πχ 32569:11 δίνει πηλίκο 296 και υπόλοιπο 9. Προσέξτε τώρα:
Αρχίζουμε και προσθαφαιρούμε από το τέλος 9-6+5-2+3=17-8=9!
Ας τελειώσουμε με ακόμα ένα περίεργο κριτήριο, του 19.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 19 αν στο πλήθος των δεκάδων του προσθέσουμε το διπλάσιο του πλήθους των μονάδων του.
Δείτε ένα παράδειγμα: Ο αριθμός 1102 έχει 110 δεκάδες και 2 μονάδες. Άρα 110+2*2=114. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία: Ο 114 έχει 11 δεκάδες και 4 μονάδες. Άρα 11+2*4=19. Το 19 διαιρείται με το 19 άρα και ο αρχικός αριθμός 1102 διαιρείται με το 19. Πράγματι 1102=19*58.
ΑΡΙΘΜΟΙ FIBONACCI
Η ακολουθία Fibonacci (Λεονάρντο της Πίζας) ορίζεται ως εξής:α1=1, α2=1, αν=αν-1+αν-2. Δηλαδή ξεκινάμε από το 1 και το 1, τα προσθέτουμε και παίρνουμε 2, προσθέτουμε το 1 με το 2 και παίρνουμε 3, το 2 με το 3 και παίρνουμε 5 κοκ.
Αποδεικνύεται ότι ο ν-οστός όρος δίνεται από τον τύπο:
αν={[(1+sqr5)/2]^ν-[(1-sqr5)/2]^ν}/2. Όπου sqr5=τετραγωνική ρίζα του 5.
Είναι μία φαινομενικά αδιάφορη διαδικασία που όμως έχει πολλές και απροσδόκητες εφαρμογές.Έχουμε ήδη δει μια με τα κουνέλια και τους απογόνους τους.
Ας δούμε άλλη μια: Αν θέλετε να μετατρέψετε τα μίλια σε χλμ. θα έχετε μια καλή προσέγγιση.Προσέξτε:
3 μίλια=5 χλμ
5 μίλια=8 χλμ
8 μίλια=13 χλμ
κλπ. Ο λόγος μεταξύ δύο διαδοχικών αριθμών Fibonacci τείνει προς τον αριθμό 1,618....
Ο αριθμός αυτός είναι γνωστός σαν χρυσός λόγος φ! Για το φ έχουμε να πούμε πάρα πολλά!
Αποδεικνύεται ότι ο ν-οστός όρος δίνεται από τον τύπο:
αν={[(1+sqr5)/2]^ν-[(1-sqr5)/2]^ν}/2. Όπου sqr5=τετραγωνική ρίζα του 5.
Είναι μία φαινομενικά αδιάφορη διαδικασία που όμως έχει πολλές και απροσδόκητες εφαρμογές.Έχουμε ήδη δει μια με τα κουνέλια και τους απογόνους τους.
Ας δούμε άλλη μια: Αν θέλετε να μετατρέψετε τα μίλια σε χλμ. θα έχετε μια καλή προσέγγιση.Προσέξτε:
3 μίλια=5 χλμ
5 μίλια=8 χλμ
8 μίλια=13 χλμ
κλπ. Ο λόγος μεταξύ δύο διαδοχικών αριθμών Fibonacci τείνει προς τον αριθμό 1,618....
Ο αριθμός αυτός είναι γνωστός σαν χρυσός λόγος φ! Για το φ έχουμε να πούμε πάρα πολλά!
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)
