ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΕΛΕΙΟΙ ΦΙΛΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΛΛΟΙ

Τέλειοι είναι οι αριθμοί που είναι ίσοι με το άθροισμα των διαιρετών τους εκτός του εαυτού τους. Πχ ο 6 έχει διαιρέτες τους 1,2,3,6. Άρα 1+2+3=6 (άθροισμα όλων των διαιρετών εκτος του 6), 'αρα ο 6 είναι τέλειος. Ομοίως ο 28 έχει διαιρέτες 1,2,4,7,14,28, άρα 1+2+4+7+14=28. Άρα ο 28 είναι τέλειος.
Φιλικοί τέλειοι είναι οι αριθμοί που το άθροισμα των διαιρετών του ενός εκτός του εαυτού του ισούται με τον άλλο.
Πχ οι αριθμοί 220 και 284. Ο 220 έχει άθροισμα διαιρετών εκτός του εαυτού του 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284. Επίσης ο 284 έχει 1+2+4+71+142=220.
Άρα οι 220,284 είναι φιλικοί τέλειοι. Σας δίνω μερικά ζευγάρια ακόμα από τα 390 γνωστά σήμερα. Είναι τα ζεύγη 1184-1210, 17296-18416, 9.363.584-9.437.056.
ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΓΙΑ ΤΕΛΕΙΟΥΣ
Αν ο κ=2^ν-1 είναι πρώτος τότε ο λ=2^(ν-1)*(2^ν-1) είναι τέλειος.
Διαβάστε και αυτά που δεν έχουν σχέση με τέλειους αλλά έχουν το ενδιαφέρον τους. Οι μόνοι τετραψήφιοι που χωράνε αντεστραμμένοι ακέραιες φορές στον εαυτό τους είναι οι:
8712/2178=4 και 9801/1089=9.
Κατά τα άλλα υπάρχουν μόνο 4 αριθμοί εκτός από το μηδέν και το ένα, που είναι ίσοι με το άθροισμα των ψηφίων τους υψωμένων στον κύβο. Δείτε:
153=1^3+5^3+3^3
370=3^3+7^3+0^3
371=3^3+7^3+1^3
407=4^3+0^3+7^3. Παρατηρείστε ότι υπάρχουν δύο συνεχόμενοι με αυτή την ιδιότητα οι 370,371.

ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΜΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΑΚΕΡΑΙΩΝ

Σας αναφέρω εδώ διάφορες σχέσεις με τετράγωνα ακεραίων αριθμών. Δεν χρειάζονται πολλά σχόλια, μιλάνε μόνες τους.
111111111^2=12345678987654321 Οι μονάδες είναι 9!

123456789=11115^2-294^2=18917^2-15310^2=18133^2-14330^2 κοκ

Ο μικρότερος αριθμός που αν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει αποτέλεσμα με όλα τα ψηφία διαφορετικά είναι ο 32043. 32043^2=1026753849. Ενώ ο μεγαλύτερος είναι ο 99066.
99066^2=9814072356.

Προσέξτε και αυτόν τον αριθμό:4390182756(έχει όλα τα ψηφία του διαφορετικά). Προσθέστε
1.000.000. Θα έχετε τον 4391182756. Η τετραγωνική του ρίζα ειναι ο 66266! Ο αριθμος αυτός είναι ο μοναδικός δεκαψήφιος με αυτή την ιδιότητα.

Ο μοναδικός διψήφιος όπου αν από το τετράγωνο του αφαιρέσουμε το τετράγωνο του αντεστραμένου του βρίσκουμε τετράγωνο ακεραίου είναι ο 65.
65^2-56^2=33^2.
Είχαμε αναφέρει στο άρθρο ΟΙ ΜΕΡΕΣ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ τη σχέση
10^2+11^2+12^2=13^2+14^2. Δείτε μερικές ακομα:21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2
36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2
55^2+56^2+57^2+58^2+59^2+60^2=61^2+62^2+63^2+64^2+65^2

Μπορείτε και σεις να φτιάξετε τέτοιες σχέσεις. Διαπιστώνουμε πρώτα ότι ισχύουν οι σχέσεις
2^2+3^2+8^2=4^2+5^2+6^2 και 3^2+4^2=5^2+0^2 και 1^2+3^2+5^2+9^2=4^2+6^2+*62 και 1^2+4^2+6^2+7^2=2^2+3^2+5^2+8^2.
Αν τώρα σχηματίσετε οποιονδήποτε διψήφιο με το πρώτο ψηφίο από το πρώτο μέλος μιας από τις ποιο πάνω σχέσεις και το δεύτερο από το δεύτερο μέλος, τότε τα τετράγωνα των πρώτων θα είναι ίσα με τα τετράγωνα των αντεστραμένων τους.
Π.χ από την πρώτη σχέση σχηματίζω τους αριθμούς 26,34,85 τότε 26^2+34^2+85^2=62^2+43^2+58^2 !!!
Δοκιμάστε το!