Σας δίνω κάποιες πρωταρχικές πτ: (Ο μεγαλύτερος αριθμός είναι πάντα η υποτείνουσα και οι δύο άλλοι οι κάθετες πλευρές)
(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29),(9,40,41),(12,35,37),(11,60,61),(28,45,53),(33,56,65),(13,84,85),(16,63,65),(48,55,73),(39,80,89),(15,112,113),(36,77,85),(65,72,97),
(17,144,145),(20,99,101),(60,91,109),(51,140,149),(18,19,180).
Σας δίνω επίσης και μια πρόταση του Πρόκλου για παραγωγη πτ. Υποτείνουσα=2*ν^2+2*ν+1
κάθετη πλευρά=2*ν^2+2*ν, άλλη κάθετη=2*ν+1. Η πρόταση αυτή παράγει πτ με το εξής χαρακτηριστικό:η υποτείνουσα είναι κατά μια μονάδα μεγαλύτερη από την μεγαλύτερη από τις δύο κάθετες.Δείτε μερικές πτ:(19,180,181),(21,220,221),(23,264,265),(25,312,313),(27,364,365).
Ας δούμε μερικές ιδιότητες των πτ:Ένα από τα μήκη των καθέτων πλευρών πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 3.
Ένα από τα μήκη των καθέτων πλευρών πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 4.
Ένας από τους αριθμούς της τριάδας πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 5.
Σε μια πρωταρχική λύση οι δύο κάθετες πλευρές δεν μπορεί να είναι συγχρόνως περιττοί.
Σε μια πρωταρχική λύση αν η μια κάθετη είναι άρτιος αριθμός τότε η άλλη κάθετη και η υποτείνουσα είναι περιττοί.Θα επανέλθω και με άλλες ιδιότητες.
Τρίτη 29 Ιανουαρίου 2008
Δευτέρα 21 Ιανουαρίου 2008
ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 1
Είναι γνωστό ότι σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο,που βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο, με πλευρές α=η υποτείνουσα (που είναι και η μεγαλύτερη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου) και β,γ=οι δύο κάθετες πλευρές, ισχύει:
α^2=β^2+γ^2.
Υπάρχουν ίσως περισσότερες από 370 αποδείξεις του ΠΘ, τουλάχιστον με την δική μου πληροφόρηση. Ίσως καταφέρουμε μελλοντικά να παρουσιάσουμε κάποιες.
Οι αριθμοί α,β,γ που ικανοποιούν το ΠΘ, ονομάζονται πυθαγόρειες τριάδες και υπάρχουν άπειρες από αυτές.
Η πιο γνωστή από αυτές είναι η 3,4,5.Όντως 5^2=25 και 3^2+4^2=9+16=25. Άρα 25=25, οπότε ισχύει το ΠΘ, άρα υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών 3,4,5 όπου 5, η μεγαλύτερη είναι η υποτείνουσα.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν έχω μια πυθαγόρεια τριάδα α,β,γ τότε όλες οι τριάδες της μορφής κα,κβ,κγ είναι πυθαγόρειες. Ένα παράδειγμα: οι αριθμοί 3,4,5 αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα(=πτ). Επίσης οι αριθμοί 2*3=6,2*4=8 και 2*5=10 αποτελούν και αυτοί πτ. Όντως 6^2+8^2=36+64=100 και 10^2=100.
Οι πτ που δεν είναι πολλαπλάσια άλλων πτ ονομάζονται πρωταρχικές.Σε ποιο μαθηματική γλώσσα, μια πτ είναι πρωταρχική αν (α,β,γ)=1, δηλαδή οι αριθμοί α,β,γ είναι σχετικώς πρώτοι μεταξύ τους(ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι το 1). Σε επόμενη δημοσίευση θα γράψω πρωταρχικές πτ.
ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΩΝ ΤΡΙΑΔΩΝ:Αν θέλετε να κατασκευάσετε μόνοι σας πτ υπάρχουν διάφοροι τύποι. Σας δίνω κάποιους:
(1-α^2)^2+(2*α)^2=(1+α^2)^2
[(μ^2-ν^2)/2]+(μ*ν)^2=[(μ^2+ν^2)/2]
α^2=β^2+γ^2.
Υπάρχουν ίσως περισσότερες από 370 αποδείξεις του ΠΘ, τουλάχιστον με την δική μου πληροφόρηση. Ίσως καταφέρουμε μελλοντικά να παρουσιάσουμε κάποιες.
Οι αριθμοί α,β,γ που ικανοποιούν το ΠΘ, ονομάζονται πυθαγόρειες τριάδες και υπάρχουν άπειρες από αυτές.
Η πιο γνωστή από αυτές είναι η 3,4,5.Όντως 5^2=25 και 3^2+4^2=9+16=25. Άρα 25=25, οπότε ισχύει το ΠΘ, άρα υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών 3,4,5 όπου 5, η μεγαλύτερη είναι η υποτείνουσα.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν έχω μια πυθαγόρεια τριάδα α,β,γ τότε όλες οι τριάδες της μορφής κα,κβ,κγ είναι πυθαγόρειες. Ένα παράδειγμα: οι αριθμοί 3,4,5 αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα(=πτ). Επίσης οι αριθμοί 2*3=6,2*4=8 και 2*5=10 αποτελούν και αυτοί πτ. Όντως 6^2+8^2=36+64=100 και 10^2=100.
Οι πτ που δεν είναι πολλαπλάσια άλλων πτ ονομάζονται πρωταρχικές.Σε ποιο μαθηματική γλώσσα, μια πτ είναι πρωταρχική αν (α,β,γ)=1, δηλαδή οι αριθμοί α,β,γ είναι σχετικώς πρώτοι μεταξύ τους(ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι το 1). Σε επόμενη δημοσίευση θα γράψω πρωταρχικές πτ.
ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΩΝ ΤΡΙΑΔΩΝ:Αν θέλετε να κατασκευάσετε μόνοι σας πτ υπάρχουν διάφοροι τύποι. Σας δίνω κάποιους:
(1-α^2)^2+(2*α)^2=(1+α^2)^2
[(μ^2-ν^2)/2]+(μ*ν)^2=[(μ^2+ν^2)/2]
Πέμπτη 3 Ιανουαρίου 2008
ΟΙ ΜΕΡΕΣ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
Μια και είναι αρχή της χρονιάς και έχουμε να δινύσουμε 365 μέρες προσέξτε αυτή την αξιοσημείωτη σχέση:
10^2+11^2+12^2=365 και 13^2+14^2=365!
Άρα πόσες μέρες είναι δύο χρονιές; 10^2+11^2+12^2+13^2+14^2=365*2!
Να πούμε και μερικά άλλα για τα τετράγωνα των ακεραίων αριθμών: Για κάθε τρεις διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς ισχύει: Το τετράγωνο του μεσαίου ισούται με το γινόμενο των δύο ακραίων συν ένα. Ας πάρουμε τους διαδοχικούς ακέραιους 3,4,5. 4^2=16 και 3*5+1=
15+1=16.
10^2+11^2+12^2=365 και 13^2+14^2=365!
Άρα πόσες μέρες είναι δύο χρονιές; 10^2+11^2+12^2+13^2+14^2=365*2!
Να πούμε και μερικά άλλα για τα τετράγωνα των ακεραίων αριθμών: Για κάθε τρεις διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς ισχύει: Το τετράγωνο του μεσαίου ισούται με το γινόμενο των δύο ακραίων συν ένα. Ας πάρουμε τους διαδοχικούς ακέραιους 3,4,5. 4^2=16 και 3*5+1=
15+1=16.
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ
Όλοι έχουμε μάθει στο σχολείο τρόπους για να βρίσκουμε τους διαιρέτες ενός ακέραιου αριθμού. Ας θυμηθούμε μερικούς.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 2 αν είναι άρτιος, δηλαδή λήγει σε 2,4,6,8,0
Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 ή με το 9 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με 3 ή 9.
Πχ ο αριθμός 123 διαιρείται με το 3 γιατί 1+2+3=6 και το 6 διαιρείται και αυτό με 3. Ομοίως το 12339 διαιρείται με το 9 γιατί 1+2+3+3+9=18 και το 18 διαιρείται με το 9.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 αν ο αριθμός που σχηματίζουν τα δύο τελευταία του διαιρείται με το 4. Πχ ο 1824 διαιρείται με το 4 γιατι ο 24 διαιρείται με το 4.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν λήγει σε 0 ή 5.
Ας δούμε όμως ένα ποιο είναι το κριτήριο διαιρετότητας με το 11. Ένας αριθμός διαιρείται με το 11 αν ξεκινώντας από το τελευταίο ψηφίο του αφαιρούμε και προσθέτουμε εναλλάξ τα ψηφία του και το αποτέλεσμα βγει 0 ή αριθμός που διαιρείται με το 11.
Πχ ο αριθμός 1232 διαιρείται με το 11 γιατι (από το τέλος) 2-3+2-1=0. Πράγματι 11*112=1232.
Αυτό το κριτήριο έχει και άλλη χρησιμότητα. Μπορεί να μας δώσει το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός αριθμού διά του 11.
Πχ 32569:11 δίνει πηλίκο 296 και υπόλοιπο 9. Προσέξτε τώρα:
Αρχίζουμε και προσθαφαιρούμε από το τέλος 9-6+5-2+3=17-8=9!
Ας τελειώσουμε με ακόμα ένα περίεργο κριτήριο, του 19.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 19 αν στο πλήθος των δεκάδων του προσθέσουμε το διπλάσιο του πλήθους των μονάδων του.
Δείτε ένα παράδειγμα: Ο αριθμός 1102 έχει 110 δεκάδες και 2 μονάδες. Άρα 110+2*2=114. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία: Ο 114 έχει 11 δεκάδες και 4 μονάδες. Άρα 11+2*4=19. Το 19 διαιρείται με το 19 άρα και ο αρχικός αριθμός 1102 διαιρείται με το 19. Πράγματι 1102=19*58.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 2 αν είναι άρτιος, δηλαδή λήγει σε 2,4,6,8,0
Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 ή με το 9 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με 3 ή 9.
Πχ ο αριθμός 123 διαιρείται με το 3 γιατί 1+2+3=6 και το 6 διαιρείται και αυτό με 3. Ομοίως το 12339 διαιρείται με το 9 γιατί 1+2+3+3+9=18 και το 18 διαιρείται με το 9.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 αν ο αριθμός που σχηματίζουν τα δύο τελευταία του διαιρείται με το 4. Πχ ο 1824 διαιρείται με το 4 γιατι ο 24 διαιρείται με το 4.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν λήγει σε 0 ή 5.
Ας δούμε όμως ένα ποιο είναι το κριτήριο διαιρετότητας με το 11. Ένας αριθμός διαιρείται με το 11 αν ξεκινώντας από το τελευταίο ψηφίο του αφαιρούμε και προσθέτουμε εναλλάξ τα ψηφία του και το αποτέλεσμα βγει 0 ή αριθμός που διαιρείται με το 11.
Πχ ο αριθμός 1232 διαιρείται με το 11 γιατι (από το τέλος) 2-3+2-1=0. Πράγματι 11*112=1232.
Αυτό το κριτήριο έχει και άλλη χρησιμότητα. Μπορεί να μας δώσει το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός αριθμού διά του 11.
Πχ 32569:11 δίνει πηλίκο 296 και υπόλοιπο 9. Προσέξτε τώρα:
Αρχίζουμε και προσθαφαιρούμε από το τέλος 9-6+5-2+3=17-8=9!
Ας τελειώσουμε με ακόμα ένα περίεργο κριτήριο, του 19.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 19 αν στο πλήθος των δεκάδων του προσθέσουμε το διπλάσιο του πλήθους των μονάδων του.
Δείτε ένα παράδειγμα: Ο αριθμός 1102 έχει 110 δεκάδες και 2 μονάδες. Άρα 110+2*2=114. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία: Ο 114 έχει 11 δεκάδες και 4 μονάδες. Άρα 11+2*4=19. Το 19 διαιρείται με το 19 άρα και ο αρχικός αριθμός 1102 διαιρείται με το 19. Πράγματι 1102=19*58.
ΑΡΙΘΜΟΙ FIBONACCI
Η ακολουθία Fibonacci (Λεονάρντο της Πίζας) ορίζεται ως εξής:α1=1, α2=1, αν=αν-1+αν-2. Δηλαδή ξεκινάμε από το 1 και το 1, τα προσθέτουμε και παίρνουμε 2, προσθέτουμε το 1 με το 2 και παίρνουμε 3, το 2 με το 3 και παίρνουμε 5 κοκ.
Αποδεικνύεται ότι ο ν-οστός όρος δίνεται από τον τύπο:
αν={[(1+sqr5)/2]^ν-[(1-sqr5)/2]^ν}/2. Όπου sqr5=τετραγωνική ρίζα του 5.
Είναι μία φαινομενικά αδιάφορη διαδικασία που όμως έχει πολλές και απροσδόκητες εφαρμογές.Έχουμε ήδη δει μια με τα κουνέλια και τους απογόνους τους.
Ας δούμε άλλη μια: Αν θέλετε να μετατρέψετε τα μίλια σε χλμ. θα έχετε μια καλή προσέγγιση.Προσέξτε:
3 μίλια=5 χλμ
5 μίλια=8 χλμ
8 μίλια=13 χλμ
κλπ. Ο λόγος μεταξύ δύο διαδοχικών αριθμών Fibonacci τείνει προς τον αριθμό 1,618....
Ο αριθμός αυτός είναι γνωστός σαν χρυσός λόγος φ! Για το φ έχουμε να πούμε πάρα πολλά!
Αποδεικνύεται ότι ο ν-οστός όρος δίνεται από τον τύπο:
αν={[(1+sqr5)/2]^ν-[(1-sqr5)/2]^ν}/2. Όπου sqr5=τετραγωνική ρίζα του 5.
Είναι μία φαινομενικά αδιάφορη διαδικασία που όμως έχει πολλές και απροσδόκητες εφαρμογές.Έχουμε ήδη δει μια με τα κουνέλια και τους απογόνους τους.
Ας δούμε άλλη μια: Αν θέλετε να μετατρέψετε τα μίλια σε χλμ. θα έχετε μια καλή προσέγγιση.Προσέξτε:
3 μίλια=5 χλμ
5 μίλια=8 χλμ
8 μίλια=13 χλμ
κλπ. Ο λόγος μεταξύ δύο διαδοχικών αριθμών Fibonacci τείνει προς τον αριθμό 1,618....
Ο αριθμός αυτός είναι γνωστός σαν χρυσός λόγος φ! Για το φ έχουμε να πούμε πάρα πολλά!
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)
