Σας δίνω κάποιες πρωταρχικές πτ: (Ο μεγαλύτερος αριθμός είναι πάντα η υποτείνουσα και οι δύο άλλοι οι κάθετες πλευρές)
(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29),(9,40,41),(12,35,37),(11,60,61),(28,45,53),(33,56,65),(13,84,85),(16,63,65),(48,55,73),(39,80,89),(15,112,113),(36,77,85),(65,72,97),
(17,144,145),(20,99,101),(60,91,109),(51,140,149),(18,19,180).
Σας δίνω επίσης και μια πρόταση του Πρόκλου για παραγωγη πτ. Υποτείνουσα=2*ν^2+2*ν+1
κάθετη πλευρά=2*ν^2+2*ν, άλλη κάθετη=2*ν+1. Η πρόταση αυτή παράγει πτ με το εξής χαρακτηριστικό:η υποτείνουσα είναι κατά μια μονάδα μεγαλύτερη από την μεγαλύτερη από τις δύο κάθετες.Δείτε μερικές πτ:(19,180,181),(21,220,221),(23,264,265),(25,312,313),(27,364,365).
Ας δούμε μερικές ιδιότητες των πτ:Ένα από τα μήκη των καθέτων πλευρών πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 3.
Ένα από τα μήκη των καθέτων πλευρών πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 4.
Ένας από τους αριθμούς της τριάδας πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 5.
Σε μια πρωταρχική λύση οι δύο κάθετες πλευρές δεν μπορεί να είναι συγχρόνως περιττοί.
Σε μια πρωταρχική λύση αν η μια κάθετη είναι άρτιος αριθμός τότε η άλλη κάθετη και η υποτείνουσα είναι περιττοί.Θα επανέλθω και με άλλες ιδιότητες.
Τρίτη 29 Ιανουαρίου 2008
Δευτέρα 21 Ιανουαρίου 2008
ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 1
Είναι γνωστό ότι σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο,που βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο, με πλευρές α=η υποτείνουσα (που είναι και η μεγαλύτερη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου) και β,γ=οι δύο κάθετες πλευρές, ισχύει:
α^2=β^2+γ^2.
Υπάρχουν ίσως περισσότερες από 370 αποδείξεις του ΠΘ, τουλάχιστον με την δική μου πληροφόρηση. Ίσως καταφέρουμε μελλοντικά να παρουσιάσουμε κάποιες.
Οι αριθμοί α,β,γ που ικανοποιούν το ΠΘ, ονομάζονται πυθαγόρειες τριάδες και υπάρχουν άπειρες από αυτές.
Η πιο γνωστή από αυτές είναι η 3,4,5.Όντως 5^2=25 και 3^2+4^2=9+16=25. Άρα 25=25, οπότε ισχύει το ΠΘ, άρα υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών 3,4,5 όπου 5, η μεγαλύτερη είναι η υποτείνουσα.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν έχω μια πυθαγόρεια τριάδα α,β,γ τότε όλες οι τριάδες της μορφής κα,κβ,κγ είναι πυθαγόρειες. Ένα παράδειγμα: οι αριθμοί 3,4,5 αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα(=πτ). Επίσης οι αριθμοί 2*3=6,2*4=8 και 2*5=10 αποτελούν και αυτοί πτ. Όντως 6^2+8^2=36+64=100 και 10^2=100.
Οι πτ που δεν είναι πολλαπλάσια άλλων πτ ονομάζονται πρωταρχικές.Σε ποιο μαθηματική γλώσσα, μια πτ είναι πρωταρχική αν (α,β,γ)=1, δηλαδή οι αριθμοί α,β,γ είναι σχετικώς πρώτοι μεταξύ τους(ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι το 1). Σε επόμενη δημοσίευση θα γράψω πρωταρχικές πτ.
ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΩΝ ΤΡΙΑΔΩΝ:Αν θέλετε να κατασκευάσετε μόνοι σας πτ υπάρχουν διάφοροι τύποι. Σας δίνω κάποιους:
(1-α^2)^2+(2*α)^2=(1+α^2)^2
[(μ^2-ν^2)/2]+(μ*ν)^2=[(μ^2+ν^2)/2]
α^2=β^2+γ^2.
Υπάρχουν ίσως περισσότερες από 370 αποδείξεις του ΠΘ, τουλάχιστον με την δική μου πληροφόρηση. Ίσως καταφέρουμε μελλοντικά να παρουσιάσουμε κάποιες.
Οι αριθμοί α,β,γ που ικανοποιούν το ΠΘ, ονομάζονται πυθαγόρειες τριάδες και υπάρχουν άπειρες από αυτές.
Η πιο γνωστή από αυτές είναι η 3,4,5.Όντως 5^2=25 και 3^2+4^2=9+16=25. Άρα 25=25, οπότε ισχύει το ΠΘ, άρα υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών 3,4,5 όπου 5, η μεγαλύτερη είναι η υποτείνουσα.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν έχω μια πυθαγόρεια τριάδα α,β,γ τότε όλες οι τριάδες της μορφής κα,κβ,κγ είναι πυθαγόρειες. Ένα παράδειγμα: οι αριθμοί 3,4,5 αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα(=πτ). Επίσης οι αριθμοί 2*3=6,2*4=8 και 2*5=10 αποτελούν και αυτοί πτ. Όντως 6^2+8^2=36+64=100 και 10^2=100.
Οι πτ που δεν είναι πολλαπλάσια άλλων πτ ονομάζονται πρωταρχικές.Σε ποιο μαθηματική γλώσσα, μια πτ είναι πρωταρχική αν (α,β,γ)=1, δηλαδή οι αριθμοί α,β,γ είναι σχετικώς πρώτοι μεταξύ τους(ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι το 1). Σε επόμενη δημοσίευση θα γράψω πρωταρχικές πτ.
ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΩΝ ΤΡΙΑΔΩΝ:Αν θέλετε να κατασκευάσετε μόνοι σας πτ υπάρχουν διάφοροι τύποι. Σας δίνω κάποιους:
(1-α^2)^2+(2*α)^2=(1+α^2)^2
[(μ^2-ν^2)/2]+(μ*ν)^2=[(μ^2+ν^2)/2]
Πέμπτη 3 Ιανουαρίου 2008
ΟΙ ΜΕΡΕΣ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
Μια και είναι αρχή της χρονιάς και έχουμε να δινύσουμε 365 μέρες προσέξτε αυτή την αξιοσημείωτη σχέση:
10^2+11^2+12^2=365 και 13^2+14^2=365!
Άρα πόσες μέρες είναι δύο χρονιές; 10^2+11^2+12^2+13^2+14^2=365*2!
Να πούμε και μερικά άλλα για τα τετράγωνα των ακεραίων αριθμών: Για κάθε τρεις διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς ισχύει: Το τετράγωνο του μεσαίου ισούται με το γινόμενο των δύο ακραίων συν ένα. Ας πάρουμε τους διαδοχικούς ακέραιους 3,4,5. 4^2=16 και 3*5+1=
15+1=16.
10^2+11^2+12^2=365 και 13^2+14^2=365!
Άρα πόσες μέρες είναι δύο χρονιές; 10^2+11^2+12^2+13^2+14^2=365*2!
Να πούμε και μερικά άλλα για τα τετράγωνα των ακεραίων αριθμών: Για κάθε τρεις διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς ισχύει: Το τετράγωνο του μεσαίου ισούται με το γινόμενο των δύο ακραίων συν ένα. Ας πάρουμε τους διαδοχικούς ακέραιους 3,4,5. 4^2=16 και 3*5+1=
15+1=16.
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ
Όλοι έχουμε μάθει στο σχολείο τρόπους για να βρίσκουμε τους διαιρέτες ενός ακέραιου αριθμού. Ας θυμηθούμε μερικούς.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 2 αν είναι άρτιος, δηλαδή λήγει σε 2,4,6,8,0
Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 ή με το 9 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με 3 ή 9.
Πχ ο αριθμός 123 διαιρείται με το 3 γιατί 1+2+3=6 και το 6 διαιρείται και αυτό με 3. Ομοίως το 12339 διαιρείται με το 9 γιατί 1+2+3+3+9=18 και το 18 διαιρείται με το 9.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 αν ο αριθμός που σχηματίζουν τα δύο τελευταία του διαιρείται με το 4. Πχ ο 1824 διαιρείται με το 4 γιατι ο 24 διαιρείται με το 4.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν λήγει σε 0 ή 5.
Ας δούμε όμως ένα ποιο είναι το κριτήριο διαιρετότητας με το 11. Ένας αριθμός διαιρείται με το 11 αν ξεκινώντας από το τελευταίο ψηφίο του αφαιρούμε και προσθέτουμε εναλλάξ τα ψηφία του και το αποτέλεσμα βγει 0 ή αριθμός που διαιρείται με το 11.
Πχ ο αριθμός 1232 διαιρείται με το 11 γιατι (από το τέλος) 2-3+2-1=0. Πράγματι 11*112=1232.
Αυτό το κριτήριο έχει και άλλη χρησιμότητα. Μπορεί να μας δώσει το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός αριθμού διά του 11.
Πχ 32569:11 δίνει πηλίκο 296 και υπόλοιπο 9. Προσέξτε τώρα:
Αρχίζουμε και προσθαφαιρούμε από το τέλος 9-6+5-2+3=17-8=9!
Ας τελειώσουμε με ακόμα ένα περίεργο κριτήριο, του 19.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 19 αν στο πλήθος των δεκάδων του προσθέσουμε το διπλάσιο του πλήθους των μονάδων του.
Δείτε ένα παράδειγμα: Ο αριθμός 1102 έχει 110 δεκάδες και 2 μονάδες. Άρα 110+2*2=114. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία: Ο 114 έχει 11 δεκάδες και 4 μονάδες. Άρα 11+2*4=19. Το 19 διαιρείται με το 19 άρα και ο αρχικός αριθμός 1102 διαιρείται με το 19. Πράγματι 1102=19*58.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 2 αν είναι άρτιος, δηλαδή λήγει σε 2,4,6,8,0
Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 ή με το 9 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με 3 ή 9.
Πχ ο αριθμός 123 διαιρείται με το 3 γιατί 1+2+3=6 και το 6 διαιρείται και αυτό με 3. Ομοίως το 12339 διαιρείται με το 9 γιατί 1+2+3+3+9=18 και το 18 διαιρείται με το 9.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 αν ο αριθμός που σχηματίζουν τα δύο τελευταία του διαιρείται με το 4. Πχ ο 1824 διαιρείται με το 4 γιατι ο 24 διαιρείται με το 4.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν λήγει σε 0 ή 5.
Ας δούμε όμως ένα ποιο είναι το κριτήριο διαιρετότητας με το 11. Ένας αριθμός διαιρείται με το 11 αν ξεκινώντας από το τελευταίο ψηφίο του αφαιρούμε και προσθέτουμε εναλλάξ τα ψηφία του και το αποτέλεσμα βγει 0 ή αριθμός που διαιρείται με το 11.
Πχ ο αριθμός 1232 διαιρείται με το 11 γιατι (από το τέλος) 2-3+2-1=0. Πράγματι 11*112=1232.
Αυτό το κριτήριο έχει και άλλη χρησιμότητα. Μπορεί να μας δώσει το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός αριθμού διά του 11.
Πχ 32569:11 δίνει πηλίκο 296 και υπόλοιπο 9. Προσέξτε τώρα:
Αρχίζουμε και προσθαφαιρούμε από το τέλος 9-6+5-2+3=17-8=9!
Ας τελειώσουμε με ακόμα ένα περίεργο κριτήριο, του 19.
Ένας αριθμός διαιρείται με το 19 αν στο πλήθος των δεκάδων του προσθέσουμε το διπλάσιο του πλήθους των μονάδων του.
Δείτε ένα παράδειγμα: Ο αριθμός 1102 έχει 110 δεκάδες και 2 μονάδες. Άρα 110+2*2=114. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία: Ο 114 έχει 11 δεκάδες και 4 μονάδες. Άρα 11+2*4=19. Το 19 διαιρείται με το 19 άρα και ο αρχικός αριθμός 1102 διαιρείται με το 19. Πράγματι 1102=19*58.
ΑΡΙΘΜΟΙ FIBONACCI
Η ακολουθία Fibonacci (Λεονάρντο της Πίζας) ορίζεται ως εξής:α1=1, α2=1, αν=αν-1+αν-2. Δηλαδή ξεκινάμε από το 1 και το 1, τα προσθέτουμε και παίρνουμε 2, προσθέτουμε το 1 με το 2 και παίρνουμε 3, το 2 με το 3 και παίρνουμε 5 κοκ.
Αποδεικνύεται ότι ο ν-οστός όρος δίνεται από τον τύπο:
αν={[(1+sqr5)/2]^ν-[(1-sqr5)/2]^ν}/2. Όπου sqr5=τετραγωνική ρίζα του 5.
Είναι μία φαινομενικά αδιάφορη διαδικασία που όμως έχει πολλές και απροσδόκητες εφαρμογές.Έχουμε ήδη δει μια με τα κουνέλια και τους απογόνους τους.
Ας δούμε άλλη μια: Αν θέλετε να μετατρέψετε τα μίλια σε χλμ. θα έχετε μια καλή προσέγγιση.Προσέξτε:
3 μίλια=5 χλμ
5 μίλια=8 χλμ
8 μίλια=13 χλμ
κλπ. Ο λόγος μεταξύ δύο διαδοχικών αριθμών Fibonacci τείνει προς τον αριθμό 1,618....
Ο αριθμός αυτός είναι γνωστός σαν χρυσός λόγος φ! Για το φ έχουμε να πούμε πάρα πολλά!
Αποδεικνύεται ότι ο ν-οστός όρος δίνεται από τον τύπο:
αν={[(1+sqr5)/2]^ν-[(1-sqr5)/2]^ν}/2. Όπου sqr5=τετραγωνική ρίζα του 5.
Είναι μία φαινομενικά αδιάφορη διαδικασία που όμως έχει πολλές και απροσδόκητες εφαρμογές.Έχουμε ήδη δει μια με τα κουνέλια και τους απογόνους τους.
Ας δούμε άλλη μια: Αν θέλετε να μετατρέψετε τα μίλια σε χλμ. θα έχετε μια καλή προσέγγιση.Προσέξτε:
3 μίλια=5 χλμ
5 μίλια=8 χλμ
8 μίλια=13 χλμ
κλπ. Ο λόγος μεταξύ δύο διαδοχικών αριθμών Fibonacci τείνει προς τον αριθμό 1,618....
Ο αριθμός αυτός είναι γνωστός σαν χρυσός λόγος φ! Για το φ έχουμε να πούμε πάρα πολλά!
Κυριακή 30 Δεκεμβρίου 2007
ΧΑΟΣ 3 ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΤΟΥ ΚΑΙΡΟΥ
Μετά τα όσα είπαμε στο ΧΑΟΣ 2, ας δούμε πως γίνεται σήμερα η πρόβλεψη του καιρού. Είναι μια διαδικασία που ενδιαφέρει τους περισσότερους ανθρώπους, από τα αρχαία χρόνια έως σήμερα. Οι άνθρωποι κατά καιρούς προσπάθησαν με διάφορους τρόπους να προβλέψουν τον καιρό, με όχι μεγάλη επιτυχία πάντοτε. Ανάλογα με την εποχή κατάφεραν να ανακαλύψουν τις κανονικότητες του κλίματος ανάλογα με την περιοχή της Γης που ζούσαν. Οι 4 εποχές καθορίστηκαν με καλή ακρίβεια. Να τονίσουμε ότι το κλίμα και ο καιρός είναι δύο τελείως διαφορετικές έννοιες. Ενώ το κλίμα παρουσιάζει μια σχετική διαχρονική σταθερότητα μέσα από το πέρασμα των αιώνων, ο καιρός ενός τόπου αλλάζει μέρα με τη μέρα, ώρα με την ώρα. Συνέδεσαν λοιπόν, οι άνθρωποι των παλαιότερων εποχών, την πρόβλεψη του καιρού με διάφορες θεότητες, τελετές, δοξασίες, ημερομηνίες γέννησης αγίων κ.α. Μέχρι σήμερα πολλοί συνεχίζουν να πιστεύουν,με πάθος θα έλεγα, στα λεγόμενα ημερομήνια, που ο καιρός κάποιων ημερών του Αυγούστου συνδέεται με τον καιρο του επερχόμενου χειμώνα. Τι όμως συμβαίνει στην πραγματικότητα;
Η ατμόσφαιρα της Γης είναι ένα τεράστιο δυναμικό σύστημα και η πρόβλεψη των κινήσεων της ταυτίζεται με την πρόβλεψη του καιρού. Σήμερα οι μετεωρολόγοι έχουν φτιάξει ακριβέστατα μοντέλα πρόβλεψης, με την βοήθεια υπερυπολογιστών, δορυφόρων και πάρα πολλών σταθμών εδάφους, οι οποίοι είναι συνδεδεμένοι με τα κεντρικά συστήματα και δίνουν δεδόμένα σε πραγματικό χρόνο.(ON LINE).
Παρόλα αυτά, όλοι γνωρίζουμε ότι αρκετές φορές το αποτέλεσμα που βλέπουμε το πρωί από το παράθυρο μας είναι διαφορετικό από αυτό που μας έδωσαν το προηγούμενο βράδυ στις ειδήσεις. Με όσα έχουμε πει ίσως έχετε ήδη καταλάβει το λόγο. Αυτό το τεράστιο δυναμικό σύστημα που λέγεται ατμόσφαιρα είναι τρομερά ευαίσθητο στις αρχικές συνθήκες και αυτές τις αρχικές συνθήκες όση τεχνολογία και να διαθέτουμε δεν είναι δυνατον να τις προβλέψουμε με άπειρη ακρίβεια. Αν υποθέσουμε ότι σήμερα έχουμε ακρίβεια στις μετρήσεις της θερμοκρασίας δέκα δεκαδικών ψηφίων, αύριο δεκαπέντε και μεθαύριο είκοσι, τότε το περισσότερο που θα κάνουμε θα είναι να αυξάνουμε την ακρίβεια των προβλέψεων μας για λίγο περισσότερο χρονικό διάστημα. Σήμερα μπορούμε να πούμε ότι περίπου για το επόμενο τριήμερο έχουμε μια σχετικά ασφαλή πρόβλεψη. Προσέξτε τη λέξη σχετικα! Σε πολλές χώρες του εξωτερικού οι μετεωρολογικές υπηρεσίες δίνουν ακόμα και για την επόμενη μέρα πολλά φαινόμενα με πιθανότητα. Πχ. αύριο θα βρέξει με πιθανότητα 80%. Είναι πιο σωστό.
Η ατμόσφαιρα της Γης είναι ένα τεράστιο δυναμικό σύστημα και η πρόβλεψη των κινήσεων της ταυτίζεται με την πρόβλεψη του καιρού. Σήμερα οι μετεωρολόγοι έχουν φτιάξει ακριβέστατα μοντέλα πρόβλεψης, με την βοήθεια υπερυπολογιστών, δορυφόρων και πάρα πολλών σταθμών εδάφους, οι οποίοι είναι συνδεδεμένοι με τα κεντρικά συστήματα και δίνουν δεδόμένα σε πραγματικό χρόνο.(ON LINE).
Παρόλα αυτά, όλοι γνωρίζουμε ότι αρκετές φορές το αποτέλεσμα που βλέπουμε το πρωί από το παράθυρο μας είναι διαφορετικό από αυτό που μας έδωσαν το προηγούμενο βράδυ στις ειδήσεις. Με όσα έχουμε πει ίσως έχετε ήδη καταλάβει το λόγο. Αυτό το τεράστιο δυναμικό σύστημα που λέγεται ατμόσφαιρα είναι τρομερά ευαίσθητο στις αρχικές συνθήκες και αυτές τις αρχικές συνθήκες όση τεχνολογία και να διαθέτουμε δεν είναι δυνατον να τις προβλέψουμε με άπειρη ακρίβεια. Αν υποθέσουμε ότι σήμερα έχουμε ακρίβεια στις μετρήσεις της θερμοκρασίας δέκα δεκαδικών ψηφίων, αύριο δεκαπέντε και μεθαύριο είκοσι, τότε το περισσότερο που θα κάνουμε θα είναι να αυξάνουμε την ακρίβεια των προβλέψεων μας για λίγο περισσότερο χρονικό διάστημα. Σήμερα μπορούμε να πούμε ότι περίπου για το επόμενο τριήμερο έχουμε μια σχετικά ασφαλή πρόβλεψη. Προσέξτε τη λέξη σχετικα! Σε πολλές χώρες του εξωτερικού οι μετεωρολογικές υπηρεσίες δίνουν ακόμα και για την επόμενη μέρα πολλά φαινόμενα με πιθανότητα. Πχ. αύριο θα βρέξει με πιθανότητα 80%. Είναι πιο σωστό.
Σάββατο 29 Δεκεμβρίου 2007
ΧΑΟΣ 2
Τι είναι όμως και πως δημιουργήθηκε η θεωρια του χάους; Θα προσπαθήσω να σας εξηγήσω, αλλά για να το κάνω αυτό πρέπει να δούμε πρώτα τον τρόπο που σκεφτόμαστε τώρα (ή ίσως τον τρόπο που πρέπει να σκεφτόμαστε) και τον τρόπο που σκεφτόμαστε μέχρι το 1960. Η σκέψη μας από την αρχαιότητα μέχρι τα μέσα του 20ου αιώνα ήταν γραμμική. Με απλά λόγια όταν έχουμε ένα συγκεκριμένο αίτιο περιμένουμε ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα. Αυτό σε πολλές περιπτώσεις είναι σωστό, κυρίως είναι σωστό σε απλά συστήματα. Αν για παράδειγμα πάρετε φόρα και χτυπήσετε το κεφάλι σας στον τοίχο χωρίς αμφιβολία θα πονέσετε. Πιστέψτε με. Η περίπτωση αυτή δεν εμπίπτει στην μελέτη μας. Μας δίνει όμως την αντιδιαστολή που χρειαζόμαστε. Η περίπτωση κεφάλι-τοίχος είναι ένα απλό σύστημα με πολύ λίγες μεταβλητές και περιγράφεται περίφημα από τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα. Δράση αντίδραση. Η αλήθεια είναι ότι οι τρεις νόμοι του Νεύτωνα, απλοί και κομψοί, περιέγραψαν με μεγάλη επιτυχία τον κόσμο για περίπου 300 χρόνια.
Οι νόμοι αυτοί βασίζονται στην εξής απλή αρχή: Αν κάποιος γνωρίζει τις αρχικες συνθήκες ενός φαινομένου τότε μπορεί να προβλέψει οποιαδήποτε μελλοντική κατασταση του φαινομένου αυτού. Π.χ. αν γνωρίζετε με ακρίβεια την σημερινή κατάσταση του χρηματιστηρίου Αθηνών τότε μπορείτε με ασφάλεια να επενδύσετε και να γίνετε πλούσιοι. Ο μεγάλος μαθηματικός Laplace συνήθιζε να λέει ότι αν υπήρχε μια διάνοια που θα μπορούσε να γνώριζε όλες τις αρχικές συνθήκες του σύμπαντος, τοτε αυτή θα μπορούσε να προβλέψει τι θα συνέβαινε σε οποιαδήποτε μελλοντική στιγμή.Όλοι όμως γνωρίζουν ότι δεν είναι έτσι τα πράγματα.
Ήταν 1960 όταν ο μετεωρολόγος Έντουαρτ Λόρεντζ του ΜΙΤ διαπίστωσε κάτι που άλλαξε τον τρόπο της σκέψης μας. Παίζοντας με προσομοιώσεις του καιρου, έβαζε στον υπολογιστή του αρχικές συνθήκες θερμοκρασίας πίεσης κλπ και περίμενε το αποτέσμα, δηλαδή την πρόβλεψη του καιρού της επόμενης μέρας. Βροχή, λιακάδα, συννεφιά ή χιόνι; Εδώ ίσως πρέπει να πούμε πως γίνεται η πρόβλεψη του καιρού. Υπάρχουν οι λεγόμενες εξισώσεις του καιρού όπου τις τροφοδοτούμε με αρχικες συνθήκες πίεσης, θερμοκρασίας υγρασίας κλπ, οι εξισώσεις αυτές δίνουν ένα αποτέλεσμα και με το αποτέλεσμα αυτό επανατροφοδοτούμε τις ίδιες εξισώσεις. Είναι κρίσιμο να καταλάβετε ότι πρόκειται για μια επαναλαμβανόμενη διαδικασία. Ο υπολογιστής εκτελεί την διαδικασία αυτή ξανά και ξανά χωρίς να κουράζεται και για τον λόγο αυτό η εμφανισή του συνέπεσε και με την εμφάνιση της μαθηματικής θεωρίας του χάους.
Ο Λόρεντζ έκανε κάτι που στην αρχή τον άφησε κατάπληκτο (μην ξεχνάτε ότι ήταν ερευνητής μετεωρολόγος), τροφοδότησε τον υπολογιστή του με τις ίδιες αρχικές συνθήκες αλλά με την εξής διαφορά στην μια περίπτωση έδωσε πχ την θερμοκρασία σαν 22,3567 βαθμούς C με τέσσερα δεκαδικά ψηφία και στην άλλη σαν 22,356746 με έξι δεκαδικά ψηφία. Προσέξτε ότι ο αριθμός είναι ίδιος μέχρι και το τέταρτο δεκαδικό ψηφίο. Πρέπει εδώ να σημειώσουμε ότι τα όργανα μέτρησης που διαθέτουμε έχουν περιορισμένη ακρίβεια. Δεν μπορούν να μας δώσουν άπειρη ακρίβεια. Και αυτό είναι ένα κομβικό σημείο για την υπόθεση μας. Το αποτέλεσμα που είδε ο Λόρεντζ ήταν δύο τελείως διαφορετικές προβλέψεις και η αιτία ήταν λίγα δεκαδικά ψηφία. Η μια πρόβλεψη έβγαζε ας πούμε λιακάδα και η άλλη βροχή. Αυτή ήταν η γέννηση της θεωρίας του χάους, η οποία με λίγα λόγια λέει το εξής: ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΛΛΑΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΝΟΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΔΩΣΕΙ ΕΝΑ ΠΟΛΥ ΜΕΓΑΛΟ, ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟ ΑΠΟ ΤΟ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΟ, ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ.
Όλοι θα έχετε ακούσει για το φαινόμενο της πεταλούδας, ότι δηλαδή το φτερούγισμα μιας πεταλούδας, ας πούμε, στην Κίνα, μπορεί να δώσει τυφώνα στο Μαιάμι. Είναι ένα συμπέρασμα που ακόμα και άνθρωποι των θετικών επιστημών δυσκολεύονται να το δεχτούν και να το χωνέψουν. Αλλά η θεωρία του χάους είναι αμείλικτη. Τα δεκαδικα ψηφία δεν μας λείπουν, θα μπορούσε λοιπόν η αλλαγή στην ταχύτητα του ανέμου που επιτυγχάνει η πεταλούδα με το φτερούγισμα της, να είναι στο δεκατο πέμπτο δεκαδικό ψηφίο, ή στο εικοστό τρίτο, ή όπου θέλετε! Αποτέλεσμα; ΜΙΚΡΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ, ΑΠΕΙΡΟΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΛΛΑΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ. Άρα αντί για λιακάδα τυφώνας!
Οι νόμοι αυτοί βασίζονται στην εξής απλή αρχή: Αν κάποιος γνωρίζει τις αρχικες συνθήκες ενός φαινομένου τότε μπορεί να προβλέψει οποιαδήποτε μελλοντική κατασταση του φαινομένου αυτού. Π.χ. αν γνωρίζετε με ακρίβεια την σημερινή κατάσταση του χρηματιστηρίου Αθηνών τότε μπορείτε με ασφάλεια να επενδύσετε και να γίνετε πλούσιοι. Ο μεγάλος μαθηματικός Laplace συνήθιζε να λέει ότι αν υπήρχε μια διάνοια που θα μπορούσε να γνώριζε όλες τις αρχικές συνθήκες του σύμπαντος, τοτε αυτή θα μπορούσε να προβλέψει τι θα συνέβαινε σε οποιαδήποτε μελλοντική στιγμή.Όλοι όμως γνωρίζουν ότι δεν είναι έτσι τα πράγματα.
Ήταν 1960 όταν ο μετεωρολόγος Έντουαρτ Λόρεντζ του ΜΙΤ διαπίστωσε κάτι που άλλαξε τον τρόπο της σκέψης μας. Παίζοντας με προσομοιώσεις του καιρου, έβαζε στον υπολογιστή του αρχικές συνθήκες θερμοκρασίας πίεσης κλπ και περίμενε το αποτέσμα, δηλαδή την πρόβλεψη του καιρού της επόμενης μέρας. Βροχή, λιακάδα, συννεφιά ή χιόνι; Εδώ ίσως πρέπει να πούμε πως γίνεται η πρόβλεψη του καιρού. Υπάρχουν οι λεγόμενες εξισώσεις του καιρού όπου τις τροφοδοτούμε με αρχικες συνθήκες πίεσης, θερμοκρασίας υγρασίας κλπ, οι εξισώσεις αυτές δίνουν ένα αποτέλεσμα και με το αποτέλεσμα αυτό επανατροφοδοτούμε τις ίδιες εξισώσεις. Είναι κρίσιμο να καταλάβετε ότι πρόκειται για μια επαναλαμβανόμενη διαδικασία. Ο υπολογιστής εκτελεί την διαδικασία αυτή ξανά και ξανά χωρίς να κουράζεται και για τον λόγο αυτό η εμφανισή του συνέπεσε και με την εμφάνιση της μαθηματικής θεωρίας του χάους.
Ο Λόρεντζ έκανε κάτι που στην αρχή τον άφησε κατάπληκτο (μην ξεχνάτε ότι ήταν ερευνητής μετεωρολόγος), τροφοδότησε τον υπολογιστή του με τις ίδιες αρχικές συνθήκες αλλά με την εξής διαφορά στην μια περίπτωση έδωσε πχ την θερμοκρασία σαν 22,3567 βαθμούς C με τέσσερα δεκαδικά ψηφία και στην άλλη σαν 22,356746 με έξι δεκαδικά ψηφία. Προσέξτε ότι ο αριθμός είναι ίδιος μέχρι και το τέταρτο δεκαδικό ψηφίο. Πρέπει εδώ να σημειώσουμε ότι τα όργανα μέτρησης που διαθέτουμε έχουν περιορισμένη ακρίβεια. Δεν μπορούν να μας δώσουν άπειρη ακρίβεια. Και αυτό είναι ένα κομβικό σημείο για την υπόθεση μας. Το αποτέλεσμα που είδε ο Λόρεντζ ήταν δύο τελείως διαφορετικές προβλέψεις και η αιτία ήταν λίγα δεκαδικά ψηφία. Η μια πρόβλεψη έβγαζε ας πούμε λιακάδα και η άλλη βροχή. Αυτή ήταν η γέννηση της θεωρίας του χάους, η οποία με λίγα λόγια λέει το εξής: ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΛΛΑΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΝΟΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΔΩΣΕΙ ΕΝΑ ΠΟΛΥ ΜΕΓΑΛΟ, ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟ ΑΠΟ ΤΟ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΟ, ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ.
Όλοι θα έχετε ακούσει για το φαινόμενο της πεταλούδας, ότι δηλαδή το φτερούγισμα μιας πεταλούδας, ας πούμε, στην Κίνα, μπορεί να δώσει τυφώνα στο Μαιάμι. Είναι ένα συμπέρασμα που ακόμα και άνθρωποι των θετικών επιστημών δυσκολεύονται να το δεχτούν και να το χωνέψουν. Αλλά η θεωρία του χάους είναι αμείλικτη. Τα δεκαδικα ψηφία δεν μας λείπουν, θα μπορούσε λοιπόν η αλλαγή στην ταχύτητα του ανέμου που επιτυγχάνει η πεταλούδα με το φτερούγισμα της, να είναι στο δεκατο πέμπτο δεκαδικό ψηφίο, ή στο εικοστό τρίτο, ή όπου θέλετε! Αποτέλεσμα; ΜΙΚΡΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ, ΑΠΕΙΡΟΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΛΛΑΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ. Άρα αντί για λιακάδα τυφώνας!
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)
